脱倩娟 吕纪荣

摘  要：高等数学作为大学的一门必修课程，为各个专业奠定了理论基础，具有广泛的应用性。然而，其高度的抽象性和严密的逻辑性导致学习难度增加，传统的高等数学教学模式容易使学生失去学习兴趣和信心，进而降低学习效率。因此，该文从思想、理论和实践三个方面探究高等数学教学模式，旨在实现高等数学教学目标，培养具有创新意识和创新能力的高素质综合性人才。

关键词：高等数学   教学模式   课程思政   数学建模

中图分类号：G642                          文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）06（c）-0119-04

On the "Trinity" Teaching Mode of Higher Mathematics

TUO Qianjuan  LYU Jirong

（Hao Jing College of Shaanxi University of Science & Technology， Xi"an， Shaanxi Province， 712046 China）

Abstract：
As a compulsory course in universities， higher mathematics has laid a theoretical foundation for various majors and has a wide range of applications. However， its high abstraction and strict logic lead to the increase of learning difficulty. The traditional higher mathematics teaching model is easy to make students lose interest and confidence in learning， and then reduce learning efficiency. Therefore， this paper explores the teaching mode of higher mathematics from three aspects of thought， theory and practice， in order to achieve the teaching goal of higher mathematics and cultivate high-quality comprehensive talents with innovative consciousness and ability.

Key Words：
Advanced mathematics; Teaching mode; Curriculum ideological and political; Mathematical modeling

高等數学不同于初等数学，其研究对象是变量，相关的概念具有一定的抽象性。如果学生不能及时地调整中学的学习方法，转换思维方式，就会认为高等数学“高不可攀”，容易产生厌烦情绪，对于学好高等数学失去信心。为了完成学校相应的学习任务，被动机械式地学习，不利于培养学生的数学思维能力和分析解决问题的能力。因此，将如何激发学生的学习兴趣，提高学习高等数学的自信心融入高等数学教学过程中，对于实现高等数学的教育目标，带动学生主动探索高等数学之美，提升数学素养具有非常重要的意义。

1  重视高等数学的思想教育

1.1 融入数学史的高等数学教学过程

春秋末期，著名教育家孔子曾言：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”对于刚入校的大学生而言，高等数学是一门全新的课程，学生要想学好这门课程，首先应从思想上重视起来，端正学习态度。传统的高等数学教学模式中，数学教师忽视了思想教育，直接讲授课本知识，课堂内容抽象且枯燥难懂，或许学生刚开始还能够认真听讲一会儿，但是时间一长，就会失去兴趣，注意力被手机等电子产品所吸引，上课效率大打折扣。为了让学生的学习效率最大化，在高等数学教学过程中，融入数学发展史[1]，借助数学故事和数学家榜样的力量，吸引学生的注意力，引导学生体会高等数学的魅力，激发他们的学习兴趣，进而建立学好高等数学的自信心。例如：讲述极限时，教师可以引用《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”和《九章算术》中割圆术：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，引导学生从具体到抽象，从有限到无限，体会极限思想。同时，以故事的形式让学生了解到：刘徽（225—295）用割圆术算到了内接正3 072边形的面积，求得圆周率为3.141 6;祖冲之（429-500）用割圆术算到了内接正24 576边形的面积，求得圆周率在3.141 592 6与3.141 592 7之间，他们在没有计算机的时代将圆周率精确到了小数点后四到七位。引导学生学习古之先贤们对于数学的执着精神和探索精神。又如：讲述拉格朗日中值定理时，介绍法国数学家拉格朗日的故事。他早期撰写了一篇利用牛顿二项式定理处理两个函数乘积的高阶导数的论文，但是这一成果早在半个世纪前就被莱布尼兹取得了。拉格朗日得知消息后，并未选择放弃，反而坚定了他钻研数学的信心[2]。这个故事启发学生：只要努力了，坚持到底就会开出成功之花。

1.2 贯穿课程思政的高等数学教学过程

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调：“高校思想政治工作关系高校培养什么样的人、如何培养人以及为谁培养人这个根本问题。要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面。[3]”大学时期正是大学生学习知识和健全人格的黄金阶段，正确的引导将有助于学生形成科学的、正确的人生观、世界观和价值观。其中，思想政治教育不仅仅是局限于《马克思主义基本原理概论》等思想政治理论课程，而是应当贯穿整个大学教育阶段。因此，高等数学教学过程中应贯穿思想政治教育。

捷克数学家波尔达斯指明了数学与哲学的关系：“没有哲学，难以得知数学的深度，当然没有数学也难以探知哲学的深度，两者相互依存，犹如一对孪生兄弟。如果既没有数学又无哲学，则就不能认识任何事物。[4]”因此，将课程思政融入高等数学的教学过程中非常重要。数学教师应在课堂上引导学生认识高等数学的重要性，培养浓厚的学习兴趣，树立正确的三观。例如：引导学生从微分的几何意义中认识到直与曲并非绝对对立，它表达了一条光滑曲线，当自变量的增量很小时，可以用某一点处的切线段来近似代替曲线段，在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段，数学上称为非线性函数的局部线性化[5]。这种思想方法在讲授泰勒公式时，引导学生将其进行推广得到更一般性的结论：任何一条光滑曲线，在曲线很小的局部范围内可以用直线段近似地代替曲线段[6];相似地，从无穷小与无穷大中培养学生辩证统一、相对变化的哲学思维;从函数的单调性与极值中培养学生应用科学观、大局观处理问题的能力[7];从定积分的概念中培养学生的辩证思想，即量变与质变、常量与变量、近似与精确、分割与组合、局部与整体、有限与无限、离散与连续等对立又统一的思政元素[8]。

2  重视高等数学的理论教育

德国思想家、教育家恩格斯曾指出：“一个民族想要站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论的思维。”换句话说，理论是一切学科的基础。高等数学的理论学习，主要分为课前预习、课堂学习、课后复习3个阶段[9]。

课前预习阶段是最基本的阶段。不仅仅是要求教师课前通过学习平台下发预习内容以及预习任务，也不仅仅是要求学生把将要学习的内容粗略地读一遍，而是要求教师根据具体内容补充所涉及到的易忘、易错、易混淆的知识点，提供相关的学习资料和学习途径，同时要求学生反馈预习结果，旨在培养学生自学的习惯和能力。

课堂学习阶段是最关键的阶段。抓住课堂就等于掌握了打开高等数学大门的钥匙。然而，高等数学具有知识点繁多、理论知识抽象等特点，学生如果课前复习得不够扎实，课堂上一旦跟不上老师的节奏，就容易产生厌烦情绪进而不再认真听讲。此时，教师可以通过放缓课堂节奏、随堂提问、抽检学生笔记、讲述一两个有趣的数学小故事等方式，重新吸引学生的注意力。课堂上，学生是观众，教师既是导演也是演员，一堂高质量的课堂犹如一场好的表演，学生的课堂反应是对教师所呈现出表演效果的真实体现，教师应增加适当的互动，牢牢抓住学生的眼球，让学生将知识深深地印入脑海。此外，教学模式应多样化，除了传统的板书+PPT模式的课堂授课，应充分利用多媒体设备和互联网，实现课堂延伸。例如：从慕课等优秀平台中选取优质教学视频或者录制教学视频推送给学生，打破时间和空间的限制，让学生可以随时随地学习[10]。

课后复习阶段是夯实基础的阶段。学数学最好的方法就是做数学，学习完新的知识，学生应趁热打铁及时做练习巩固新知，并兼顾复习已经学过的相关知识点，将前后知识点进行串联，温故知新。对于教师而言，这个阶段不仅仅是进行简单的作业批改，而是通过学生作业的反馈情况及时调整教学方案，因材施教。同时，组建班级帮扶学习小组，对学习困难的学生进行一对一帮扶;对较难、易错的知识点利用钉钉、雨课堂或者学堂在线等平台进行在线答疑，必要时进行直播答疑，使学生能够及时走出思维误区，彻底掌握所学内容。当然，除了帮助学生解决学习问题之外，数学教师也应该和辅导员加强合作，时刻关注学生的心理状况，定期找学生谈话，了解学生学习动态，针对有厌学情绪的学生进行心理疏导并加以鼓励，使他们重拾自信心。除此之外，教师应尽量争取学校层面的支持，在条件允许的情况下，成立高等数学社团，向学生推荐优质教辅书、考研参考书和数学文化等相关方面的书籍，定期举办相关的数学活动，为对高等数学感兴趣的学生和有考研计划的学生提供学习、交流的平台。

3  重视高等数学的实践教育

3.1 穿插数学实验的高等数学教学过程

计算机普及的时代，借助相关数学编程软件可以大大提高学生的学习兴趣和学习效率。常用的数学软件包括：优化软件Lingo、统计软件SPSS以及兼具计算和仿真能力的软件Matlab。在高等数学教学过程中，教师应根据教学内容适当的穿插数学实验，教会学生使用数学软件。例如：讲授空间解析几何时，教师可以利用Matlab等数学软件画出马鞍面、旋转双叶双曲面、椭圆柱面等常见的二次曲面并辅助以相应的动画效果，让学生从视觉上直观地感受曲面的形成过程。利用Matlab软件绘图比较方便，只需要把曲面方程写成两个变量的显函数或参数方程即可，教师可以在课堂上演示绘图过程，激发学生的学习兴趣。又如：在学习三重积分时，对学生的空间想象力要求较高，如果学生不能画出整个空间立体图形，就很难确定积分区域，导致结果计算错误。因此，教师可以教学生利用数学软件画出三维立体图形并制作动画效果，有助于学生领会三重积分中“投影法（先一后二法）”和“截面法（先二后一法）”的思想精髓。当然，数学软件在高等数学中的使用不仅仅是画图，还可以通过简单编程实现计算极限、导数、极值和积分等。可以说，在高等数学教学过程中，教师教会学生熟练的使用数学相关软件，就等于为学生日后的科研、工作奠定了良好的基础。

3.2 渗透数学建模思想的高等数学教学过程

鲁迅曾说过：“专读书也有弊病，所以必须和现实社会接触，使所读的书活起来。”数学建模作为理论和实践结合的桥梁，其题目源自于生活实际，涉及领域广泛，要求学生能够将所学的理论知识过渡到实际问题中[11]。因此，在高等数学的教学过程中教师应渗透数学建模思想，引导学生将理论和实践相结合[12]。例如：講函数最值时，教师可以利用：在一定条件下，怎样使“产品最多”“用料最省”“效益最高”等实际问题，引导学生将其转化成求函数的最值问题;又如：讲曲率时，教师可以利用实际问题：如何设计火车轨道或机床转轴的弯曲程度，才能使其在载荷作用下的弯曲变形在一定的限制范围内，引导学生将其转化成求曲线的曲率问题。数学建模是一个创造性思维过程，学生通过分析实际问题、建立数学模型、求解数学模型、检验数学模型、撰写论文和应用实际6个阶段，可以拓宽自身知识面，提高自学能力，培养分析问题、解决问题的能力，提高交流沟通能力，增强合作意识和团队精神，锻炼坚强的意志力和激发自身的创造意识[13]，有助于实现高等数学教学育人的教学目标。同时，在日常高等数学教学过程中，教师应积极宣传数学建模，鼓励学生参加数学建模竞赛，拓宽数学建模的受益面，“以学促教，以赛促教，赛教结合”，让所有参赛学生实现“一次参赛，终生收益”[14]。

4  结语

我国数学家华罗庚提出“学而优则用，学而优则创”。当今社会，人才是第一竞争力，而具有创新意识和创新能力的应用型人才更是核心竞争力。高等数学育人作为高校育人职能的一种具体体现，其重要性不言而喻。该文从思想、理论和实践3个层面进行高等数学教学模式探究，旨在以思想为引、理论为基、实践为石，三位一体培养具有创新意识和创新能力的综合性人才，实现高校立德树人的教学目标。

参考文献

[1] 张艳松.数学文化融入高职高等数学教学研究与实践[J].科技创新导报，2019，16（7）：223-224.

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