崔洪波

摘要：通过渐开线直齿轮齿廓方程在MATLAB中构建出渐开线直齿轮的点云模型生成精确地齿廓，将点云数据导入到SolidWorks中構建出齿廓精确的渐开线直齿轮副的三维模型;然后对渐开线直齿轮副进行理论接触应力计算，并对联合建模的齿轮副与参数化建模的齿轮副进行接触应力的有限元仿真分析和动力学仿真分析结果进行对比。结果表明：联合建模所得三维模型满足渐开线齿轮副的接触特性研究需求，且较参数化建模方法，联合建模的齿廓更加精确，有限元仿真的接触应力更加精确。

Abstract：
Based on the involute spur gear tooth profile equation， the point cloud model of involute spur gear was built in MATLAB to generate accurate tooth profile. The point cloud data was imported into SolidWorks to build a three-dimensional model of involute spur gear pair with accurate tooth profile. Then the theoretical contact stress of involute spur gear pair is calculated， and the finite element simulation and dynamic simulation analysis results of contact stress between the joint modeling gear pair and the parametric modeling gear pair are compared. The results show that the 3d model obtained by joint modeling meets the research requirements of contact characteristics of involute gears， and the tooth profile obtained by joint modeling is more accurate than that of parametric modeling method， and the contact stress obtained by finite element simulation is more accurate.

关键词：联合建模;渐开线直齿轮;接触应力;有限元仿真分析;动力学仿真分析

Key words：
joint modeling;involute spur gear;contact stress;finite element simulation analysis;dynamic simulation analysis

中图分类号：TP242                                    文献标识码：A                                  文章编号：1674-957X（2022）04-0063-04

0  引言

在齿轮传动中，渐开线直齿圆柱齿轮是一种常见的齿轮，其具有齿形易于加工、传动比较高、安装误差不敏感、寿命长等优点，被广泛应用于机械传动中[5]，但对与齿轮的三维建模大多是根据齿廓方程进行参数化建模，这种建模的齿廓精度虽可以满足实际的机械传动需求，但对于齿轮副的接触特性的研究来说，一般的参数化建模的对研究结果的影响较大，所产生的误差也较大。

目前，关于齿轮建模的方法和文章很多[4]。大多对渐开线齿形通过编程进行精确绘图，但对齿根过渡曲线段主要采用近似绘制的方法。虽然齿根过渡曲线对齿啮合过程没有贡献，但对齿轮的强度，尤其是齿轮的弯曲强度有重要的影响，故在分析时也必须对齿根过渡曲线进行精确绘制，但在一般的齿轮参数化建模中并没有对过渡曲线进行建模，只是用一段圆弧或者渐开线延长线进行代替，这样对于齿轮接触特性的研究造成较大的误差。

通过利用渐开线方程与齿根圆过渡曲线方程以及齿廓的其他参数，在MATLAB中编程绘制齿廓草图的点云模型，然后将点云数据导入到SolidWorks中进行联合建模。通过将联合建模与一般的参数化建模的三维模型的理论计算值与静、动力学仿真值做对比。通过静力学仿真与动力学的仿真与理论计算对比来验证联合建模的三维模型的精确度对于齿轮接触特性的研究是满足的。

1  MATLAB构建渐开线直齿轮齿廓曲线与SolidWorks构建三维模型

1.1 渐开线直齿轮的齿廓组成及构成原理

构建的精确渐开线直齿轮的齿廓由四部分组成，如图1所示;分别是：齿顶圆部分、渐开线部分、过渡曲线部分、齿根圆部分。其中齿轮副啮合的接触部分主要在渐开线部分，渐开线部分对于齿轮副的接触特性的研究尤为重要;过渡曲线部分对于探究齿轮的弯曲应力影响较大。总之，精确的齿廓对于探究齿轮副的疲劳强度、应力特性等都有较大意义。

1.2 齿廓方程与MATLAB齿廓点云模型

由《机械原理》所述齿轮齿廓多为滚齿刀所加工的，根据绘制齿廓的需要，所需的齿轮副齿廓的基本参数公式，如下式[1]：

 式（3）中ρ为刀顶圆角半径;a1为刀顶圆角圆心距中线的距离;α′公法线nn与刀具加工节线间的夹角;Φ=（a1/tanα′+b1）/r，b1刀顶圆角圆心距刀具齿槽中心线的距离。

根据上述式（1）～（3），在MATLAB中编写齿廓方程曲线的程序，构建齿廓曲线的点云模型，根据齿轮副的参数得到主从动轮齿廓的点云数据，然后将点云数据以TXT格式导出，得到主从动轮的渐开线和齿根过渡曲线的点云数据，如图3所示。

1.3 SolidWorks生成精确齿廓的渐开线直齿轮

将由MATLAB导出的点云数据导入到SolidWorks中，通过绘制曲线-通过XYZ点的曲线将点云数据转换成齿廓草图，然后通过拉伸生成精确齿廓的三维模型。如图4所示，图中左图为联合建模的三维齿廓图，右图为参数化建模的三维齿廓图，在建模过程中，两种建模的齿轮基本算例参数相同。

2  渐开线直齿轮的接触应力计算

2.1 接触应力计算公式

国内以赫兹理论为基础将修正后的赫兹应力计算接触应力[3]。国际标准化组织（ISO）、德国（DIV）以及美国齿轮制造协会（AGMA）都将Hertz公式作为齿轮接触强度的计算依据。本文以Hertz公式来计算渐开线直齿轮的接触应力，Hertz公式及相关参数的公式如下：

 式（4）中F为轮齿的法向载荷，F=2T/（dcosα），T为输入转矩;B为接触线长度;b为齿轮宽度，εα为齿轮副的重合度，重合度的计算在文献[1]中有所讲述，本文就不在介绍其计算公式;ρ为综合曲率半径;μ为齿轮材料的泊松比;E为材料的弹性模量。

2.2 渐开线直齿轮副的参数及Hertz接触应力

渐开线直齿轮副的算例参数如表1所示，根据齿轮副的算例参数可根据赫兹接触计算公式计算得到渐开线直齿轮副的接触应力，通常选取啮合节点位置处的接触应力作为计算和分析的参考依据;为了对直齿圆柱齿轮的齿面接触应力的计算公式进行简化，使用一对轴线相互平行的圆柱体模拟其传动;这与齿轮副轮齿的接触如出一辙。

根据表1齿轮的设计参数数据与式（4）计算得到渐开线齿轮副的接触应力大小为σH=374.935MPa，接触线长度为B=12.346mm。法向载荷F=501.215N。

3  有限元仿真分析与动力学仿真分析

3.1 有限元仿真设置

对两种建模方式所得到的渐开线直齿轮副进行有限元静态仿真分析，两种建模方式所得齿轮副的有限元静态仿真分析的参数设置均相同。首先在SolidWorks中装配好齿轮副模型，并调整齿轮啮合做到配合三维模型均无干涉，然后将模型导入到Workbench中，并根据表1的算例参数进行参数设置。为了做到无侧隙配合在Workbench中调整渐开线齿轮副的啮合几何间隙为0;由于齿轮接触为非对称行为，则在有限元接触分析的计算算法中选择广义拉格朗日法;根据网格精度定性判定指标，网格大小设置为0.1mm，为了提高仿真计算精度，对接触齿面的网格进行加密处理。对主动轮设置大小为8948.777N·mm的转矩，从动轮固定;齿轮副在啮合过程的齿面摩擦系数为0.1。网格划分图与两种建模方式的有限元仿真结果图，如图5所示。网格划分图中所标识处为齿面加密部分。

3.2 齿轮副动力学仿真结果分析

将两种建模方式得到的渐开线直齿轮副的装备体分别导入到Adams View中进行动力学仿真分析，对两种齿轮副进行同样的操作与参数设置，两种建模得到的直齿轮副算例的接触仿真的时长设置为5秒，步数设置为500，对两种建模方式得到的渐开线直齿轮副进行动力学仿真分析。分析得到的仿真结果如图6所示，左图为联合建模渐开线直齿轮副的动力学仿真结果图，右图为参数化建模直齿轮副的动力学仿真结果图。

3.3 有限元仿真结果与动力学仿真结果分析

两种建模方式静、动力学的仿真结果如表2所示。

根据表2可知，两种建模方式得到的渐开线直齿轮的有限元仿真接触应力值分别为：

①联合建模的齿轮副有限元仿真接触应力值大小为370.31MPa。

②参数化建模的齿轮副有限元仿真接触应力值大小为423.05MPa。联合建模的齿轮副有限元仿真接触应力与理论计算的接触应力的误差为1.17%，而参数化建模的齿轮副的有限元仿真接触应力与理论计算的接触应力的误差为12.97%。

由动力学仿真结果图可得：

①联合建模的渐开线直齿轮副动力学仿真的结果为493.4952N与理论值的误差为：1.54%。

②参数化建模的渐开线直齿轮副动力学仿真的结果为480.4726N，与理论值的误差为：4.12%。从仿真的结果图（图6）可以看出两种建模方式得到的齿轮副啮合传动过程中，联合建模所得到的渐开线直齿轮副的载荷波动相对于参数化建模的渐开线直齿轮较少，说明齿廓在传动过程中较平稳。

由此可见通过联合建模得到的渐开线直齿轮的齿轮齿廓对于齿轮的接触特性研究所得到结果与理论计算最为接近，这在很大程度上有利于渐开线直齿轮的接触特性研究。

4  结论

通过联合建模所得的渐开线直齿轮齿轮副的三维模型较参数化建模所得到三维模型的齿廓精确度较高;静、动力学仿真结果都与理论计算值最为接近，误差較参数化建模的齿轮较小;经过对比分析发现通过联合建模所得到的渐开线直齿轮可以满足渐开线直齿轮的接触特性的研究需求。

参考文献：

[1]孙恒.机械原理[M].高等教育出版社，2013：202-203.

[2]郭忠.基于APDL的渐开线直齿圆柱齿轮参数化精确建模[J].机械制造与自动化，2010，40（03）：41-44.

[3]中华人民共和国国家标准.GB/T 3480-1997，渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法[S].

[4]万苏文，王贵成，舒希勇.渐开线圆柱齿轮PRO/E参数化造型系统设计[J].煤矿机械，2006（12）：88-91.

[5]孙方遒，苗德忠.机械设计基础[M].北京：北京理工大学出版社，2015.