杨学云

[摘 要]文章以带电粒子在有界匀强磁场中运动[1]的“四种模型”为例，分析探讨带电粒子在匀强磁场中运动问题的解答方法——轨迹圆对称法、轨迹圆放缩法、轨迹圆旋转法、轨迹圆平移法，从而揭示带电粒子在有界匀强磁场中的运动规律。

[关键词]有界匀强磁场;轨迹圆对称法;轨迹圆放缩法;轨迹圆旋转法;轨迹圆平移法

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）05-0037-04

新一轮高考改革突出对学科必备知识、关键能力、学科素养的考查。正确分析带电粒子在有界匀强磁场中运动偏转问题，可以培养学生规范、准确地画出运动轨迹图像的能力、抽象思维能力、形象思维能力、演绎推理能力等关键能力[2]。本文通过“四种模型”，分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动，具体是抓住题目中的已知条件，如恰好、最大、最高、至少等词语 [3]，挖掘试题的隐含条件，分析粒子运动轨迹的可能情况;突出有界磁场与运动轨迹间的几何关系，使抽象的物理问题更加形象、直观。

一、轨迹圆对称法

带电粒子垂直射入磁场后，将做匀速圆周运动，如图1所示。要计算粒子在磁场中运动时的轨道半径、周期等物理量，则应结合题中已知信息，规范画出粒子运动轨迹图像，利用轨迹图像具有对称性的特点，即粒子的运动轨迹关于入射点[P]与出射点[Q]的中垂线对称，轨迹圆心[O]位于对称线上，入射速度、出射速度与[PQ]间的夹角相等，有[φ=α=2θ=ωt]，运用以上规律寻找临界条件方便快捷。

[例1]如图2所示，在[0≤x≤2a]的区域Ⅰ内有垂直于纸面向里的匀强磁场;在[x>2a]的区域Ⅱ内有垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅰ和区域Ⅱ内磁场的磁感应强度大小分别为[B]和2[B]。已知质量为[m]、带电荷量为[q]（[q]>0）的粒子沿[x]轴正方向从原点射入区域Ⅰ中。

（1）若粒子能进入区域Ⅱ的匀强磁场，求粒子第一次进入区域Ⅱ的可能位置和速度的范围。

（2）为使粒子能进入区域Ⅱ且不能返回原点，粒子射入区域Ⅰ时的速度应满足什么条件？

解析：（1）设带电粒子刚好进入区域Ⅱ磁场，因为区域Ⅰ磁场的最大宽度为2a，运动轨迹恰好与区域Ⅱ磁场左边界相切，半径为[R0=2a]，所以第一次进入区域Ⅱ磁场的可能位置为横坐标[x=2a]，纵坐标[0<y<2a]的区域内，此时对应的速度为[v1]，因为洛伦兹力提供向心力，所以有[qv1B=mv122a]，解得[v1=2qBam]，故有[v>2qBam]。

（2）粒子能返回原点的条件是在区域Ⅱ磁场中粒子偏转轨迹的圆心必须在[x]轴上，草图如图3所示，粒子在区域Ⅰ磁场和区域Ⅱ磁场里的偏转半径和几何关系有：[R1=2R2]，[R1R1+R2=2ax]，[x=3a]，[yR1=a3a]，[y=13R1]，[y2+a2=R22]，[R1=655a]。在磁场中，洛伦兹力充当向心力，使粒子做匀速圆周运动，故有：[qv2B=mv22R1]，[v2=qBR1m=65qBa5m]，因此粒子能进入区域Ⅱ磁场且不能返回原点的条件是射入区域Ⅰ磁场时的速度满足：[v>2qBam]且[v≠65qBa5m]。

[例2]在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。在如图4所示的平面直角坐标系[xOy]内，以坐标原点[O]为圆心，[d]为半径的圆形区域外存在范围足够大的匀强磁场。一质量为[m]、电荷量为[+q]的粒子从[P0，3d]点沿[y]轴正方向射入磁场，当入射速度为[v0]时，粒子从[a-3d2，3d2]处进入无场区射向原点[O]，不计粒子重力。求：（1）磁场的磁感应强度[B]的大小;（2）粒子离开[P]点后经多长时间第一次回到[P]点。

解析：（1）粒子的运动轨迹如图5所示，由题目条件可求得粒子做圆周运动的轨道半径为[R=d]。在磁场中，粒子所受洛伦兹力充当向心力，使粒子做匀速圆周运动，有[qv0B=mv20R]，解得[B=mv0qd]。

（2）粒子运动轨迹如图6所示，粒子在磁场中运动的时间[t1=3×23T=2T]，粒子在磁场中运动的周期为[T=2πRv0]，粒子在无场区运动的时间[t2=3×23dv0]。粒子再次回到[P]点的时间[t=t1+t2]，联立方程解得：

[t=4πdv0+63dv0]

二、轨迹圆放缩法

带电的相同粒子从某点沿同一方向以不同速率发射，在磁场中做匀速圆周运动，轨道半径[R]与速率[v]成正比，即速度[v0]越大，运动轨迹半径[R]越大，根据半径从小到大的顺序，画出不同速率粒子的运动轨迹圆，如图7所示，轨迹圆的圆心在垂直速度方向的直线[PP′]上，将半径放缩画出粒子的运动轨迹图像，从而寻找临界条件。

[例3]（2020年全国高考课标Ⅰ卷）一匀强磁场的磁感应强度大小为[B]，方向垂直于纸面向外，其边界如图8中虚线所示，[ab]为半圆，[ac]、[bd]与直径[ab]共线，[ac]间的距离等于半圆的半径。一束质量为[m]、电荷量为[q（q>0）]的粒子，在纸面内从[c]点垂直于[ac]射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。求粒子在磁场中运动的最长时间。

解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，有：[qBv=mv2r]，[T=2πrv]，可求得粒子在磁场中做圆周运动的周期为[T=2πmqB]，粒子在磁場中运动的时间为[t=θ2π·T=θmqB]。

粒子在磁场中运动的时间与速度无关，轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长。画出运动轨迹图像如图9，采用放缩圆解决该问题，粒子垂直[ac]边射入磁场，则轨迹圆的圆心必在[ac]直线上，将粒子的轨迹半径由零逐渐放大。设粒子运动轨迹半径为[r]。

（1）当半径[r≤0.5 R]和[r≥1.5 R]时，粒子分别从ac、bd区域射出，磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。

（2）当[0.5 R<r<1.5 R]时，粒子从半圆边界射出，将轨迹半径从[0.5 R]逐渐放大，粒子射出磁场的位置从半圆顶端向下移动，轨迹圆的圆心角从[π]逐渐增大，当轨迹半径为[R]时，轨迹圆的圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹圆的圆心角减小，因此当轨迹半径等于[R]时轨迹圆的圆心角最大，即轨迹对应的最大圆心角为[θ=π+π3=43π]。粒子运动最长时间为[t=θ2πT=43π2π×2πmqB=4πm3qB]。

[例4]如图10所示，正方形区域abcd内（含边界）有垂直纸面向里的匀强磁场，[ab=l]，[Oa=0.4 l]，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度[v0]射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为[m]，电荷量为[q]，磁场的磁感应强度大小为[B]，[sin37°=0.6]，[cos37°=0.8]。

（1）求带电粒子在磁场中运动的最长时间;

（2）若带电粒子从ad边离开磁场，求[v0]的取值范围。

解析：（1）粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图11所示，有[qBv0=mv20R]，又[T=2πRv0]，解得[T=2πmBq]。

又由几何关系得[θ=74°]，则粒子在磁场中运动的最长时间[t=360°-θ360°T=143πm90qB]。

（2）当粒子轨迹与[ad]边相切时，如图12所示，设此时初速度为[v01]，轨道半径为[R1]，由几何关系可得[R1+R1sin37°=0.4 l]，又[qBv01=mv201R1]，解得[v01=qBl4m]。

当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图13所示，设此时初速度为[v02]，轨道半径为[R2]，由几何关系可得[R2+R2cos37°=l]，又[qBv02=mv202R2]，解得[v02=5qBl9m]。

综上可得[qBl4m<v0≤5qBl9m]。

三、轨迹圆旋转法

大量带相同电量的粒子从[O]点以相同速率沿不同方向发射进入匀强磁场中（如图14所示），由圆周运动可得，轨道半径[R]与速率[v]成正比。速率相同，轨道半径相等，速度方向不同，运动轨迹圆大小一样，但圆心在改变。因此，画出某个方向的运动轨迹圆，以[O]点所在垂直轴为轴旋转画出圆心轨迹，利用题中所给条件，寻找临界条件。

[例5]（2017年全国高考课标Ⅱ卷）如图15虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，[P]为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过[P]点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入磁场时速率为[v1]，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上。若粒子射入磁场时的速率为[v2]，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则速度大小[v2]∶[v1]之比为多少？

解析：相同的带电粒子垂直匀强磁场入射，粒子均做匀速圆周运动。粒子以[v1]入射，一端为入射点[P]，对应圆心角为60°（对应六分之一圆周）的弦[PP′]必为垂直该弦入射粒子运动轨迹的直径[2r1]，如图16所示，设圆形区域的半径为[R]，由几何关系知：[r1=12R]。

其他不同方向以[v1]入射的粒子的出射点在[PP′]对应的圆弧内。

同理可知，粒子以[v2]入射及出射情况，如图17所示。由几何关系知[r2=R2-R22=32R]，可得[r2]∶[r1=3]∶1。

因为[m]、[q]、[B]均相同，由公式[r=mvqB]可得[v∝r]，所以[v2]∶[v1=3]∶1。

[例6]如图18，在[0≤x≤a]区域内存在与[xOy]平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为[B]。在[t=0]时刻，一个位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向夹角分布在0～180°范围内。已知沿[y]轴正方向发射的粒子在[t=t0]时刻刚好从磁场边界上[P（a， a）]点离开磁场。（不计重力）求：

（1）粒子在磁场中做圆周运动半径;

（2）最先从右边界射出的粒子在磁场中运动的时间;

（3）从右边射出的粒子在通过磁场的过程中，所经过的磁场区域的面积。

解析：（1）因为沿[y]轴正方向发射的粒子在[t=t0]时刻刚好从磁场边界上[P（a， a）]点离开磁场，连接[OP]，作[OP]的垂直平分线交[x]轴于[O1]，[O1]就是圆周运动的圆心，其轨迹如图19中①所示，恰好是四分之一圆周，圆周运动的半径[r=a]，并且[t0=14T]。

（2）最先从右边界射出的粒子在磁场中的弧长最短，弦最短，弦长等于a，其轨迹如图19中②所示，其圆心为[O2]，因为弦长等于半径，则[OO1O2]是等边三角形的顶点，圆心角为60°，运动时间为[tmin=16T]，解得[tmin=23t0]。

（3）从右边射出的粒子在通过磁场的过程中，沿[x]轴正方向发射的粒子刚好从磁场边界上[P"（a，-a）]点离开磁场，其轨迹恰好与磁场边界相切，也是四分之一圆周，如图19中③所示，粒子所经过的磁场区域为轨迹①③和磁场边界所围的面积：[S=14πa2+a2-14πa2=a2]。

四、軌迹圆平移法

大量相同的带电粒子从不同点以相同速率向同一方向发射进入匀强磁场，因为带电粒子的速度大小相同，运动轨迹半径相等，运动轨迹圆大小相同，速度方向相同，所以画出某个方向带电粒子的运动轨迹圆，然后将该圆平移，可找到临界条件。

[例7]如图20所示，长方形ABCD长[AD=0.4 m]，宽[AB=0.2 m]，O、E分别是AD、BC边的中点，以E为圆心EB为半径的圆弧和以O为圆心、OD为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感强度[B=0.5 T]。一群带电粒子以速率[v=3×103 m/s]沿垂直AD方向射入磁场区域，粒子质量[m=2×10-7 kg]、电量[q=-6×10-3 C]，不计粒子重力。判断带电粒子将从什么位置离开磁场。

解析：带电粒子进入磁场时入射点均在DOA线上，由圆周运动半径公式[R=mvqB]，代入数据可求出[R=0.2 m]，即运动轨迹半径[R]等于磁场宽度AB。现将磁场曲线OB平行向上平移一个半径后得到曲线OAF，如图21所示。带电粒子做匀速圆周运动时它们的圆心均在曲线OAF上，如图22所示，在该曲线上从[F]到[O]取点作为圆心，以[R=mvqB]为半径作一系列轨迹圆，从D、O之间入射磁场，带电粒子在磁场中转过1/4 圆周后沿EB边界向上做直线运动最终经过B点，从O、A之间入射的粒子先做直线运动，后再进入磁场做圆周运动，由作图可知带电粒子也经过B点。故从AOD边进入磁场的带电粒子，最后离开磁场时均通过B点位置。

[例8]如图23所示，[xOy]为平面直角坐标系，在[x]轴上、下方空间都分布着垂直[xOy]平面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小分别为B、3B（未画出）。一质量为m、电荷量为[-q]的小球从坐标原点O处以与[x]轴正方向成30°角的速度[v]射入第一象限，不计重力。求：

（1）小球从离开[O]点（记为第0次）到第4次经过[x]轴过程的平均速度;

（2）小球从离开O点后[58T]（T为粒子的运动周期）时刻的位置坐标。

解析：（1）小球在第一象限内运动，有[qvB=mv2r1]，所以轨道半径[r1=mvqB]，又因为[T1=2πr1v]，所以[T1=2πmqB]。

同理，在第四象限内运动时，有：

[r2=mv3qB]，[T2=2πm3qB]。

画出运动轨迹如图24所示，小球从离开O点到第4次经过[x]轴时前进的位移[x=OP4=2r1-r2=4mv3qB]，小球运动的时间[t=2T16+5T26=16πm9qB]，小球的平均速度[v=xt=3v4π]，即平均速度大小为[3v4π]，方向沿[x]轴正方向。

（2）小球运动的周期[T=T16+5T26=8πm9qB]，因[5T8=5πm9qB=T16+2T26]，即此時小球位于图24中的[P5]，故横坐标为[x=2r1sin30°=mvqB]，纵坐标为[y=-2r2sin60°=-3mv3qB]，即位置坐标为[mvqB，-3mv3qB] 。

因外界匀强磁场空间范围大小的限定，以及带电粒子初速度大小和方向的不确定性，导致带电粒子在匀强磁场中运动轨迹不同，因而产生了大量的边界极值问题[4]。教师在授课时应依据实际物理情境，寻求不同过程中相互联系的物理量，如半径、周期、圆心角、时间等，规范、准确地画出运动轨迹图像，计算运动轨迹的半径、周期等。厘清有界磁场与运动轨迹圆的几何关系[5]，是解决该类问题的关键。

[   参   考   文   献   ]

[1]  李秀明.带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题探析[J].新课程（中），2019（2）：96-97.

[2]  卜凡军.浅议高中物理教学中如何提高学生的抽象思维能力[J].考试周刊，2020（A4）：125-126.

[3]  胡卫雄.从几道高考题谈有界磁场的临界与极值问题的数理方法[J].数理化解题研究，2021（1）：88-90.

[4]  彭长礼.带电粒子在有界磁场中运动的极值问题[J].数理化学习（高三版），2015（4）：21-22.

[5]  蔡辉.利用“圆心轨迹”与边界的长度关系求解磁场中的复杂问题[J].物理通报，2021（S1）：67-70.

（责任编辑 易志毅）