丁玉霞

解三角形中的最值问题具有较强的综合性，常与三角函数、二次函数、不等式、方程、数列、圆、向量等知识相结合.仅运用解三角形的知识很难快速求得最值，需将解三角形中的最值问题转化为常规的最值问题，灵活运用其他章节的知识来求解.下面重点谈一谈解答解三角形中最值问题的几个措施.

一、利用二次函数的性质求解

在解答解三角形中的最值问题时，可将三角形的一个内角α看作变量，构造关于α的三角函数式，将问题转化为关于 sin α（或者cosα）的二次函数最值问题，这样就可以利用二次函数的单调性、奇偶性、对称性等来求得最值.

例1.在ΔABC 中，a，b，c分别为内角 A，B，C 所对的边，且 a =b tanA，角 B 为钝角.

（1）证明：B -A =  ;

（2）求sinA + sin C 的最大值.解：（1）略;

（2）由（1）知 B =A +  ，

所以 sin C = sin（A +B）= sin（2A + ）= 1- 2 sin2A，

从而可得sinA + sin C =-2 sin2A + sinA +1 .

因为C 为锐角，所以C =π -（A +B）=  -2A∈（0， ），解得0 <A < .

设sinA =t，则 y =-2t2+t +1，t ∈（0， ），

因为 y =-2t2+t +1 =  -2（t - ）2，

该二次函数的开口向下，

所以当 t =  时，ymax =  ，

故sinA + sin C 的最大值为  .

我们先利用正余弦定理，将目标式转化为关于sinA的式子，然后通过换元，将目标式转化为关于 t 的一元二次函数式，将其配方，根据二次函数的图象、单调性求得最值.

二、采用基本不等式法求解

在解答解三角形中的最值问题时，可利用正、余弦定理将三角形的边角之间关系转化为三角或三边之间的关系，然后将所求目标用角的三角函数或边表示出来，配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，这样便可直接运用基本不等式法求得最值.在运用基本不等

式求最值时，可直接运用基本不等式≥  ，或其变形式 a +b ≥2  、ab ≤（ ）2、abc ≤（ ）3

来求解.

例2.已知在 ΔABC 中，内角 A，B，C 满足cosC +（cosA - sinA）cosB =0.

（1）求角 B 的大小;

（2）若a+c =1，求 b 的最小值.解：（1）略;

（2）由余弦定理得 b2=a2+c2- 2accos =（a +c）2- 3ac≥（a +c）2- 3（）2，

又 a +c =1，可得b2≥ 12- 3×（）2=  ，

所以 b≥ ，当且仅当 a =c，即ΔABC 为等边三

角形时不等式取等号，

故 b 的最小值为 .

解答本题的关键是灵活运用基本不等式的变形

式 ab ≤（ ）2，建立关于b 的不等式，从而通过解不

等式求得b 的最值.在利用基本不等式求得最值后，一定要注意检验等号成立的条件是否满足题意.

三、根据三角函数的性质求解

在解答解三角形中的最值问题时，可根据正、余弦定理将三角形的边角关系转化为三个角之间的关系，然后将所求目标用三个角的三角函数表示出来，通过三角恒等变换将目标式转化为只含有一个角、一种函数名称的最简形式，最后运用三角函数的有界性和单调性来求得最值.

例3.在ΔABC 中，a，b，c分别为内角 A，B，C 所对的边，且 a = 3，A = π3 ，求 b + c 的最大值.

解：由正弦定理得sinbB = c sin C = sin3π3 = 2 ，

所以 b = 2 sin B ，c = 2 sin C ，

所以 b + c = 2 sin B + 2 sin C = 2 sin B + 2 sin（B + π3 ） = 2 3sin（B + π6 ） .

易知 0 < B < 2π3 ，所以 π6 < B + π6 < 56π ，

所以 21 < sin（B + π6 ） ≤ 1 .

于是，当 sin（B + π6 ）= 1，即 B = π3 时，b + c 取最大值，为 2 3 .

利用正余弦定理并通过三角恒等变换，便可将目标式转化为关于角 B 的正弦函数，利用正弦函数的有界性和单调性求得最值.在运用三角函数的性质解题时，要注意三点：（1）灵活运用“三角形的内角和为180o”的公理;（2）明确三角形中每个内角的范围是（0，180o）;（3）根据已知条件缩小角的范围.

例 4.如图 1，已知 ΔABC 为等腰直角三角形，BC为斜边，D 为 ΔABC 外一点，且 DB = 2，DC = 1，求四边形 ABDC 的面积的最大值.

解：

解答本题，需将不规则四边形切割为两个三角形ΔBCD 、ΔABC ，然后在每个三角形内讨论边角之间的关系，求得两个三角形的面积，再将四边形 ABDC 的面积用角 D 的三角函数表示出来，根据三角函数的性质求得最值.

四、运用圆的性质求解

我们知道，正弦定理：
a sin A = b sinB = c sinC = 2R 中的 R 为 ΔABC 的外接圆的半径，因此在求解有关解三角形中的最值问题时，可根据题意构造圆，灵活运用圆的性质来解题.圆的性质很多，如（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心;（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧相等;（3）外接圆的圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等等.

例5.在 ΔABC 中，AB = AC，D 為 AC 边上的点，且 AC = 4CD，BD = 2，则 ΔABC 面积的最大值为______.

解：

解答本题的关键是构建平面直角坐标系，设出点A 的坐标，得出 A 点的轨迹方程为圆，然后根据圆的性质：圆的直径最长，从而求得 ΔABC 面积的最大值.

总之，解答解三角形中的最值问题，需首先灵活运用正余弦定理合理进行边角互化，然后运用发散性思维，将问题与所学的三角函数、二次函数、基本不等式、圆等知识关联起来，将其转化为二次函数最值问题、三角函数最值问题、双变量最值问题、与圆有关的最值问题来求解.

（作者单位：甘肃省天水市第八中学）

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