王学先 林银

2021年云南省初中数学学业水平考试试题延续了往年的风格，紧扣立德树人的教育理念.试题整体上稳中有变、变中有新，体现知识立意、能力立意和过程性立意，渗透数学核心素养，突出“四基”，注重数学计算，突出学科思维，让学生经历获取知识和应用知识的全过程，促进学生全面发展.试题背景与实际生活联系紧密，凸显建党100周年主题，富有时代气息，渗透课程思政理念，培养学生的家国情怀，使学生树立民族自信心.

一、试卷内容结构和考点情况分布

以下是云南省初中数学学业水平考试近3年考点分布，按照题型分类如下：

通过以上3个表格，我们可以发现2021年云南省初中数学学业水平考试题在试卷结构、题型分布、梯度布局、各领域分数设置方面合理，内容符合《义务教育数学课程标准》（2011年版）的要求，知识要素覆盖全面，能力考查突出，重点知识重点考查，突出数学本质特征，关注数学知识的综合与应用.

从试题内容占比情况来看，2021年云南省初中数学学业水平考试试题内容占比的是比较恰当的，考查的内容结构也是非常合理的，近三年的各领域分值分布详见下表：

通过表5，我们可以对于试卷的主要特色，有一个大致的认识.接下来我们一一来分析.

二、主要特色

试题命制遵循《全日制义务教育数学课程标准》（2011年版）和《2017年云南省初中数学学业水平标准与考试说明》的要求，考查内容覆盖了初中生所学数与代数、空间与图形、概率与统计等数学核心内容、基础知识、基本技能、基本方法和基本的活动经验，注重了对学生数学核心素养的全面考查.试题结合云南省教学实际，面向全体学生，无偏、繁、难试题.试题考查全面，难易兼顾，特别注重学生应用数学知识解决实际问题的能力的考查，既能公平客观评价学生学业水平，又能体现选拔功能.

试题所涉及的知识是初中课程标准中数与代数、空间与图形、概率与统计、实践与综合四个领域中的内容，都是初中阶段最基本、最核心的内容，如第1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13、15、16、17、19题等考查的知识起点低，偏向于水平考试（考查内容参看上表5）.2021年的试题没有对科学记数法、分式的化简求值、锐角三角函数实际应用进行独立设题考查，对圆、相似的考查要求也相对较低.

试题设计注意结合学生生活实际，试题背景是学生熟悉和了解的，能较好地考查考生分析问题和解决实际问题的能力，具体见表6.

熟悉的情景创设、贴近生活实际，考查内容经典常规进一步降低试题的难度.这些试题从学生熟悉的生活背景出发，联系学生的生活实际，创设新的问题情景，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识.试题设计新颖、灵活、内容丰富，具有浓郁的时代气息.

4.试题紧扣课标教材，充分发挥试题导向作用

2021云南省初中数学学业水平考试试题紧扣《义务教育数学课程标准（2011年版）》和教材，大部分基础性试题都源于教材，如第1、2、3、4、5、6、7、10、11、13、15、16、18、19、21、22题，将教材中的例子和练习、习题通过类比、改编、拓展、变式等方式呈现，源于教材又高于教材，引导教师创造性的使用教材.

（第16题）如图1，在四边形中，，，與相交于点

【】本题考查全等三角形的判定和性质，关键在于使用“SSS”推理论证三角形.试题改编于2013年人教版八年级（上册）第44页习题12.2第8题.其中为两个三角形的公共边，把背景放在四边形中，需要学生有一定的识图能力和抗干扰能力.

（第18题）“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措.机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质.刚刚过去的“五·一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏.某旅行社今年5月1日租用、两种客房一天，供当天使用.图2是有关信息：

请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的、两种客房每间客房的租金.

【】试题考察分式方程的实际应用，试题改编于2013年人教版八上P习题15.3第4题.通过卡通人物的对话，分析其中蕴含的两个等量关系，用客房单价比客房多40元设未知数，再用2000元租到客房的数量与用1600元租到客房的数量相等列方程，其中隐藏着一个数学关系式，总价除以单价等于数量，据此建立数学模型，分析解决实际问题.试题背景的云南旅游宣传，贴近生活，卡通人物的出现，生动活泼，有意舒缓考生的情绪，利于考生作答.

（第19题）为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”.该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记为、，1名男生，记为;在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为，2名男生，分别记为、.现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛.

（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数;

（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率.【】试题考察列举法（列表法、树状图）、求简单事件的概率，试题改编于2013年人教版九上P例3.以建党100周年为背景，“追忆百年历程，凝聚青春力量”的演讲主题很燃，富有时代气息，渗透课程思政理念.考生认真审题，采用列表法（推荐）或者树状图，很容易得到答案，但是使用数学符号，一定要认真细致，不要弄错脚标.

（第22题）如图3，是⊙的直径，点是⊙上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延長线上，且.

求证：是⊙的切线; 若，，求的长.

【】试题考察圆切线的判定、A型相似求线段长.试题改编于2013年人教版九年级（上册）第101页习题24.2的第6题.对图象进行适度改编，对条件和设问进行改编，无论是第（1）问切线的判定方法，连半径证垂直，还是第（2）问与相似结合后，求线段的长，都体现对典型问题的典型考察，强调通法通解.在学业水平考试命题时，基本上是对教材上的例子、练习和习题进行引用、改编，这是教育公平的体现，因此阅读教材，研读课标，深挖教材是教学点关键.

试卷注重综合能力的检测，注重数学思考，体现了较强的探究性，既考查了支撑数学学科知识体系的主干知识，又突出考查了观察、实践、探索创新等能力.试题坚持“能力立意”，融入了新课标的理念，拓宽题材、多角度、多视角的考查了学生的数学素养，使学生的自主性和个性得以发挥.试题数学学科核心素养具体见下表.

从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系

试题呈现数学学业考试的目的和性质，精心设置压轴题，综合考查学生的应用数学知识解决实际问题能力，区分不同的数学学习水平，为高一级学校的选拔创造一定的条件.2021年的压轴题第23题，突破常规，对二次函数的考查不再是传统的与几何问题综合，而是一个以二次函数为背景的代数推理综合问题，围绕一元二次函数、一元二次方程、完全平公式等知识，具有较强的综合性、灵活性.其中，第（1）问是经典的利用二次函数图形和性质求待定系数，关键在于学生能够理解对称轴的描述，读懂对称轴就是.把图形与轴交点坐标，对称轴公式代入计算，比较常规.到了第（2）问就上了一个小台阶，学生要理解一元二次方程的根和对应一元二次函数图象和轴交点横坐标之间的关系，可以把算出来，也可以不用计算，利用的等量关系式所包含的完全平方公式，进行等式变形，整体代换验证等式的成立.试题的亮点是第（3）问，如果这个时候还想着硬算，那么面对基本上不可行了，就要求学生善于观察联想到亮点，一是挖掘的隐藏条件，二是利用第（2）问已经证明的结论来整体代换，简化所证明不等式的结构，继而得出的正确结论.

在中考阅卷时，学生的解法丰富，令人惊叹.其中，第（2）小问的解法至少有9种，大体上分为3个方向：硬算，利用根与系数的关系巧妙化简，利用已有条件和结论呈现的平方结构，从完全平方公式或平方差公式的角度进行变形、化简、证明.第（3）小问中隐藏条件的挖掘，也有3个角度，硬算发现，由一元二次方程的根与系数的关系发现，由变形为发现.对于的证明，可以从入手，分别验证分子、分母关系得到证明，也可以认真观察分子分母结构，常数分离后轻松证明.但是无论何种方式，要注意两点：一是负数的奇数次幂依旧为负数，二是会利用第（2）问结论进行整体代换.

这样的试题，考查學生的数学能力和天赋.这道试题真正起到了筛选出有数学发展潜质学生的作用，体现了中考升学考试人才的选拔功能这一层面，当属最美中考题.

这类题目有利于引发教师的思考，如何培养学生的数学素养，在重点知识上下功夫，在解题方法上多创新，对这类问题要多探索、多比较、多思考，使学习探究的过程成为再发现、再创造的过程，努力锻炼思维的灵活性、发散性和批判性，不断提高分析问题与解决问题的能力.

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