通知公告:
发言范文网欢迎您王素琴
二项式定理(a +b)n = C a +n C an -1b1+ …+ Cn(k)an -kbk +… + Cn(n)bn (n∈N*),其展开式直接呈现了各项与系数之间的关系.该定理在解答高次二项式、三项式、四项式问题中应用广泛.本文重点谈一谈如何运用二项式定理求解下列三类题目.
一、求二项式的展开式中的特定项或系数
二项展开式中的项和系数较多,要求得二项式的展开式中的特定项或系数,需利用二项式定理,求得展开式或者通项公式 Tr+1 = Cn(r)an -rbr,然后根据 r 的值求出特定项或系数.在解题时,需重点关注通项公式中 Tr +1 与项数 r 之间的联系.
例1.求(x2-x +1)5的展开式中 x3的系数.
解:
(x2 -x +1)5为三项式,我们需根据二项式定理的通项公式,求得 Tn1+ 1的表达式,然后运用待定系数法建立方程组,结合n1、 n2、 n3为非负整数的条件求得 x3的系数.
二、求解整除问题或求余数
整除问题是一类常考的问题,这类问题往往会给出一个或多个高次多项式,而这些高次多项式不容易被计算出来,要求其余数或判断该式能否被整除,需灵活运用二项式定理,将高次多项式展开,然后提出公因数(式),使其公因数(式)为除数(式),这样就能将高次多项式转化为除数(式)的倍数,从而求得余数或判断该式能否被整除.
例2.求证: .
证明: =(8+ 1)n +1 -8n -9
解答本题的关键是通过恒等变形,将多项式变为二项式的形式,使其展开后的各项中均含有除数64.利用二项式定理解答整除问题,通常需将底数化成两数的和与差的形式,这样便可提出公因数(式).
三、证明不等式
对于一些与正整数有关的不等式,也可以利用二项式定理来进行求证.在解题时,要根据题目所给的条件构造二项式,善于正用或逆用二项式定理,再运用放缩法来证明结论.
例3.求证:> (n ∈N,n ≥3).
证明:>可变形为等式2n - 12n +1>2n + 12n -1,
即2n > 2n(n ∈ N, n ≥3),
而2n =(1+ 1)n = C + C + C + …+ Cn(n)
≥ C + C + C + C = 1+n + 2 + 6
>1 +n + > 1+n +n>2n,
则> (n ∈N,n ≥3).
由于二項式的展开式较为复杂,且含有很多项,所以在运用二项式定理展开不等式中的高次多项式后,通常要结合放缩法来解题,需利用不等式的传递性,将展开式通过放缩,并逐步与所求证的目标靠拢,从而证明不等式.
总之,二项式定理是解答高次多项式问题的重要工具,在求二项式的展开式中的特定项或系数、求解整除问题或求余数、证明不等式时,同学们要学会将高次多项式与二项式定理关联起来,灵活运用二项式定理及其展开式、通项公式来解题.
(作者单位:江苏省盐城市大丰区新丰中学)
猜你喜欢 二项式公因数通项 数列通项与求和新高考·高三数学(2022年3期)2022-04-28例谈二项式定理的应用技巧语数外学习·高中版上旬(2020年10期)2020-09-10巧求最大公因数数学大王·中高年级(2019年10期)2019-11-04关于数列通项公式的浅谈学习周报·教与学(2019年52期)2019-10-21例谈高中数列通项求解的几种常见方法好日子(下旬)(2019年8期)2019-03-30《最大公因数》教案学校教育研究(2019年6期)2019-03-11《约分——最大公因数》教学设计学校教育研究(2017年30期)2017-08-13精选精练20题 高考数列得满分中学生数理化·高二版(2016年10期)2016-12-24二项式定理的“另类”应用中学生数理化·高二版(2016年8期)2016-05-14“求两个数的最大公因数及最小公倍数”的一点做法新课程·上旬(2015年2期)2015-06-02 相关热词搜索: 定理 解题 二项式