潘竹树　李平香

【摘 要】中学生数学关键能力的培养研究是社会关切的热点之一，中学阶段数学关键能力培养的扎实开展，可以为学生终身核心素养的形成奠定坚实的基础.通过追根溯源，借助基本图形，回到公理去的教学，可以培养学生逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力这五大学科能力.

【关键词】追根溯源;基本图形;关键能力

关键能力是指进入高等学校的学习者在面对与学科相关的生活实践或学习探索问题情境时，有效地认识问题、分析问题、解决问题所必须具备的能力.它是支撑终身发展和适应时代要求的能力，是发展学科素养、培育核心价值所必须具备的能力基础[1].基本图形是由公理拓展延伸出的结构简单的图形，是公理的另一种呈现形式.基本图形具有较强的生长性，可以为学习后续的学习起原理解释、参考借鉴和辅助思考的作用.沿着“基本图形”的逻辑链条不断地“往回找根子”“回到公理去”，这个过程充满着直观想象、逻辑推理和创造性[2].

汉斯·弗赖登塔尔说过：“如果将数学解释为一种活动的话，那就是必须通过数学化来教数学、学数学，通过公理化来教与学公理系统，通过形式化来教与学形式体系.”[3]数学化即建立数学模型解决问题，建立模型的经验可分为直接经验和间接经验.直接经验的获得比较容易，靠数学活动和日常生活经验取得;间接经验的获得比较困难，靠学生原有的知识、借助资料或他人帮助获得.教师利用基本图形，引导学生剖析、还原问题背后隐藏的数学原理，能帮助学生领悟数学基本思想、积累基本活动经验，提升数学关键能力.1 基本图形与公理体系的有机联系

什么是基本图形？现行中学平面几何课本中的概念，公理和定理所对应的图形都可称为基本图形[4].数学是研究数量关系与空间形式的学科，研究空间形式离不开基本图形，基本图形是数学学科独具特色的元素，基本图形之所以称“基本”，是因为它具备较强生长性，起基础、支撑的作用，价值重大.公理是欧氏几何体系的“起点”，是数学逻辑推理的基石，“回到公理去”的教学，能避免学生只知其然，不知其所以然，不知其何以所以然[5].

点是最基本的图形，当“一个点”生长成“两个点”时，就会自然而然产生“两点之间的最短距离是多少”等疑问，本文以“两点之间，线段最短”公理为基础，根据“两定点不同的位置关系”延伸出如下两个基本图形.

基本图形1 如图1，当两点位于直线a的异侧时，在直线a上求一点P，使得AP+BP最小.连结AB交直线a于点P，当点P与点P′重合时，A、P、B三点共线，根据“两点之间，线段最短”，线段AP+BP=AB，此时AP+BP最小.

基本图形2 如图2，当两定点A、B位于直线a的同侧时，在直线a上求一点P，使得AP+BP最小.作点B关于直线a的对称点B′，转化为如上基本模型1，此时点P为所求作的点.

两定点在直线同侧和异侧，延伸出的这两个形式简洁、结构简单的“基本图形”，为学生学习“两点间距离最短”提供思想、方法和路径的支撑，我们定义其为“基本图形”.2 基本图形的初级、高级及综合应用

数学教学应在水平数学化的基础上，进行垂直数学化.水平数学化是指确定问题情境中的数学成分，从数与形两方面进行刻画、描述和抽象，进而给出形式化的表述.垂直数学化是指在水平数学化的基础上，按照数学知识发展的内在逻辑，对数学材料进行组织、整理和拓展，形成某种数学知识体系[6].基本图形是从公理引申出来的基本结构，是学生研究几何图形的基础构件，是水平数学化的体现;基本图形的应用，是垂直数学化的综合体现.

2.1 基本图形的初级应用

教学过程中，必须考虑学生已有的知识和经验，认知发展水平.学生前、后学习的点状知识，如果能够融汇贯通起来，就是认知结构组织、再组织的过程.具备公理化教学条件的问题，教师要引导学生展开联想，把抽取出的图形，与“基本图形”进行对比分析，发现异同点，从根本上寻找到解决问题的方法与路径，从而提高学生的逻辑推理能力、直观想象能力和数学建模能力.

基本图形1中，一条直线异侧有两定点，当该直线上存在“一条定长的线段”时，又会产生什么情况呢？

如图3，点A，B位于水平方向的直线a两侧，与直线a的距离分别等于1和3，点A，B的水平距离（东西方向）等于5，点C、D在直线a上，CD=2，求AC+CD+BD的最小值.提出问题 因为CD为定值，所以把问题转化为求AC+BD的最小值.

分析问题 如图4，把点A向右平移2个单位至点A′，连结A′B交直线a于点D，把问题转化为基本图形1.

解决问题 如图5，因为AA′平行且等于CD，所以四边形AA′DC为平行四边形.过点B作BE⊥AA′交AA′的延长线于点E，在Rt△A′BE中，∠E=90°，A′E=3，BE=4，根据勾股定理，A′B=32+42=5，则AC+CD+BD的最小值等于7.图3图4图5

基本图形1中，一条直线异侧有两定点，当“一条直线”平移成“两条直线”，又会产生什么情况呢？

如图6，两水平放置的直线a，b间的距离为1，点A与直线a的距离等于1，点B与直线b的距离等于2，点A与点B的水平距离（东西方向）等于5，点C，D分别在直线a，b上，且CD⊥直线b，求AC+CD+BD的最小值.

提出问题 因为CD为定值，所以把问题转化为求AC+BD的最小值.

分析问题 如图7，过点B作BE⊥直线b于点E，点B沿BE方向平移1个单位至點B′.连结AB′交直线a于点C，过点C作CD⊥b于点D，连结DB，则AC+CD+BD的值最小.

解决问题 把问题转化为基本图形1.图6图7

基本活动经验就是让学生学会如何思考问题，由此培养他们的思维，更进一步则是要培养他们的直观[7].没有对基本图形的深刻理解、对数学公理的追根溯源，就没有办法形成直观感知，寻找到解决此类问题的一般路径、思想与方法.数学基本思想与基本活动经验的有机结合，是培养学生数学关键能力的重要手段.

2.2 基本图形的高级应用

离公理更远、表征更模糊的问题，则需要学生更高的数学理解力.数学理解力指学生运用已有的知识、经验去认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及规律的一种能力，它是学生解决问题的核心能力[8].学生通过对问题抽丝剥茧，对寻找“来时的路”的探索，将极大提高揭示基本图形本质及其规律，培养运算求解能力和创新能力.

基本图形2中，一条直线同侧有两定点，当该直线上存在“一条定长的线段”时，又会产生什么情况呢？

如图8，两定点A，B位于水平方向的直线a同侧，点A，B与直线a的距离分别等于1和2，点C，D在直线a上，线段CD=1，求四边形ABDC周长的最小值.

提出问题 因为AB，CD为定值，所以把问题转化为求AC+BD的最小值.

分析问题 如图9，作点B关于直线a的对称点B′，把点A向右平移1个单位至点A′，连结A′B′交直线a于点D，线段CD位置如图，则AC+BD=A′D+B′D=A′B′最短.

解决问题 把问题转化为基本图形2.

一个定点（或两个定点）在直线外，当直线在某处产生弯折，基本图形演变成“一个定点与两条相交的直线”时，又会产生什么情况呢？

如图10，定点P在∠AOB内部，分别在边OA，OB上确定点C，D的位置，使得△PCD的周长最小.

如图11，两定点P，Q在△AOB内部，分别在边OA，OB上确定点C，D的位置，使四边形PDCQ的周长最小.

解决问题

如图10，分别作点P关于边OA，OB的对称点P′，P″，把PC+CD+PD转化为线段P′P″的长度解决问题.

如图11，分别作点P，Q关于边OB，OA的对称点P′，Q′，把QC+CD+PD转化为线段P′Q′的长解决问题.

以上两种变式其本质相同，追溯回到“两点之间，线段最短”解决问题.

达到融会贯通的知识能做到举一反三、闻一知十，迁移能力很强，可以在新情境中灵活、自动地与其它知识一起发挥作用[9].在寻找“来时的路”的过程中，学生经历数学解决问题的全过程，提高运算求解能力和空间想象能力，实现融会贯通的同时，达成学生数学关键能力的再次提升.

2.3 基本图形的综合应用

迁移原理表明，抓住本质能促进迁移的正效应;反之，思维定势则会产生迁移的负效应.实践表明，高认知水平的变式训练是避免思维定势的有效手段，借助基本图形解决复杂问题，能降低学生解决问题的难度，培养学生的迁移与应用能力，促进学生高层次思维的发展.

如图12，菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2，把△ABD沿射线BD方向平移到△EFG，连结EC，FC.求EC+FC的最小值.

引导学生发现问题、反思问题，质疑与批判是学生创新的基础.

提出问题 如图12，点C为定点，点E，F为动点，没有现成的经验怎么办？

分析问题 把“一定两动”，转化为“两定一动”.连结ED，因为四边形EDCF为平行四边形，所以DE=CF.把EC+FC的最小值转化为CE+DE的最小值.

提出问题 点C，D为定点，点E为动点，可以转化为什么基本图形？

分析问题 转化为基本图形2.

提出问题 基本图形2有定直线，本图没有出现定直线，怎么化无为有？

分析问题 如图13，点E的运动轨迹是过点A，与射线BD平行的直线l.

提出问题 问题化归为直线l同侧有两定点C，D，根据基本图形2，怎么确定点E？

解决问题 作点D关于直线l的对称点D′，连结D′C交直线l于点E，则EC+FC的最小值等于线段D′C的长度，△CDD′是顶角∠CDD′=120°、腰长CD=2的等腰三角形，计算略.

此题最大的亮点有两点：第一，化“一定两动”为基本图形2中的“两定一动”;第二，把基本图形2中的“不存在的直线”根据轨迹“化无为有”.

数学抽象本质上就是探索表面上不同问题之间的内在联系，找出共同的数量关系和空间形式，得到能够解决问题的共性的方法和思想[10]从而培养学生解决复杂问题的关键能力.3 基本图形应用研究的方法与路径

基本图形具有较高价值，在实际应用中，学生要排除复杂的图形中的干扰因素，去伪存真认清基本图形，作法可遵循如下一般路径展开（图14）.

遵循如上一般路径，学生经历基本图形应用的全过程，在解决问题的过程中，能逆向溯源，回到公理去，找到解题的依据，这是一个深度学习的全过程.学生了解知识的“发生—发展—应用”过程，通过“回到公理去—基本图形—综合图形”，知识体系从无到有、从模糊到清晰、从简单到复杂，体验与感悟知识体系的建构过程，从而构建学生数学关键能力培养的一般路径.

杜威曾说过，知识如果不能内化到学生已有的经验中去，这种知识本质上就没有什么意义.抽象出的基本图形，是帮助学生更容易应用“两点之间，线段最短”这一公理，通过变式让学生体验到“形变神不变”这一本质，通过变式训练提升数学基本活动经验，从“终点”溯源而上，找到“起点”，在由始至终的过程中提升思维品质，再由始至终把知识内化到学生的已有经验中去.关键能力的建构过程，起关键作用的还是基本图形内、外表征理论，推进基本图形的教学和与之协同的思维训练，使关键能力落地生根.4 结束语

回归基本图形的教学，就是培养学生的结构化思维，帮助学生在面对全新数学情境时，能从纷繁复杂的已有知识中，调取出与全新问题有关的基本图形，运用基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，找到问题解决的思想、方法和路径.

“研究对象在变，‘研究套路’不变，思想方法不变”，这样的研究思路、方法体现了基本思想、基本活动经验的力量[2].追根溯源能提高学生的境界，合理延伸能拓展学生的边界，拓展应用能打开学生的眼界.探求回归基本图形的教学，让学生用数学的眼光提出问题、用数学的思维分析问题、用数学的语言解决问题，从而培养学生的数学关键能力.

参考文献

[1]任子朝，趙轩，郭学恒.基于高考评价体系的关键能力考查[J].数学通报，2020（08）：15-20.

[2]章建跃.在一般观念引领下探索空间几何图形的性质[J].数学通报，2021（03）：2-7，21.

[3]弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995：41-42，124，124，123，110，109.

[4]傅佑珊，周去难.浅谈平面几何基本图形的教学[J].数学通报，1993（05）：9-11.

[5]张彩云，代钦.傅种孙几何作图思想探析——纪念傅种孙先生诞辰120周年[J].数学通报，2019（1）：3.

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[7]朱雁，鲍建生.从“双基”到“四基”：中国数学教育传统的继承与超越[J].课程·教材·教法，2017（01）：62-67.

[8]朱贵玺.数学解决问题过程中须培养的四种关键能力[J].教学与管理，2020（01）：36-38.

[9]章建跃，王嵘.中国数学教科书使用变式素材的途径和方法[J].数学通报，2015（11）：3.

[10]王尚志，胡凤娟.数学教育的育人价值[J].人民教育，2018（13-14）：40-44.

作者简介 潘竹树（1976—），男，福建泉州人，中学高级教师，福建省中学数学学科带头人;主要从事初中数学教学研究;发表论文10余篇.

李平香（1975—），女，福建三明人，中学高级教师，福建省中学数学学科带头人;主要从事高中数学教学研究;发表论文30多篇.

基金项目 福建省泉州市教育科学“十四五”规划课题“初中生数学关键能力培养的实践研究”（课题编号：QG1451-106）;教育部福建师范大学基础教育课程研究中心开放课题“初中生数学关键能力培养路径研究”（课题编号：KCA2022145）.

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