王罗成 刘丹萍

【摘要】数学概念的建立贯串整个数学学习的过程，数学是建立在一系列精确概念之上的.重视概念形成过程的教学，有助于学生对概念关键属性的认识，加深学生对概念的理解.教师需要了解概念形成的基本过程，并指导日常的概念教学.本文以“一元二次方程”概念教学为例，谈一谈教师如何在概念教学中重视概念的形成过程.

【关键词】一元二次方程;概念教学

概念教学应该引起教师足够的重视，而有的教师在课堂上，常常利用“一个定义加上几项注意”的方式来阐述数学概念.甚至有的教师认为，对概念的讲解本身不必用太长的时间，只需要简单表述即可，练习做多了，学生自然会对概念有自己的认识.这种对概念的处理方式没有使学生经历概念形成的基本过程，导致学生对数学概念中的关键属性认识不清，这对学生相关数学知识体系的构建是非常不利的.

一、概念形成的基本过程

概念形成，即从大量具体例子出发，从学生实际的例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性.概念形成的基本过程可以分为如下环节.

1.分析辨认典型事例的基本特征

蕴含数学概念的典型事例可以是学生自己已有的生活经验或者是经历的一些基本事实，也可以是教师在课堂上提供的具有代表性的一些事例，学生需要通过对这些典型事例进行观察、分析和比较，对这些事物的外部特征进行概括.

2.将典型事例的基本特征进行分化

为了使学生理解典型事例的本质属性，便于学生归纳出事例的共同属性，教师需要在教学过程中，引导学生将所列事例的外部特征进行分化、概括.

3.抽象出典型事例的共同属性

学生对事例的各个属性进行分析后，容易找出这些事例中的共同属性，最终将准确的概念从这些共同属性中提出.

4.确认共同属性，排除非关键属性

在抽象出大量事例的共同属性之后，学生需要对这些共同属性进行确认，排除一些非关键的特征.

5.概括形成概念

学生将最后确认的共同属性抽象出来，并区分有从属关系的关键属性，用语言将其概括成为新概念.

6.检验、修正、推广概念

形成新的概念之后，学生需要对概念进行辨析，辨析的过程一方面是为了进一步检验和修正概念，另一方面也是对形成的新概念进行推广应用.辨析的过程可以检验学生对概念的关键属性是否理解.

7.形成习惯的符号语言

符号语言在数学学习的过程中显得尤为重要，将概念用习惯的符号语言表示，可为学生以后应用概念奠定基础.

二、教学设计

1.找出一元二次方程一般形式所具有的特征

观察下列一元二次方程，他们都有什么共同点？

（1）3x2=0

（2）2x2-3x=3

（3）-12x2-2=0

（4）2x2+2x-3=0

设计说明：教師列举一元二次方程的几种形式，希望学生通过观察发现一元二次方程所具有的特殊属性，即一元二次方程所具有的相同特点，借此总结归纳出一元二次方程的一般形式.

在讲授过程中，教师要注意引导学生思考二次项系数、一次项系数、常数项能否为0.

2.总结归纳一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.

3.概念辨析

下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由，并将一元二次方程化为一般形式.

（1）3x+2=5x-3

（2）x2=4

（3）x-2x+1-1=x2

（4）x2-4=（x+2）2

判断一个方程是否是一元二次方程，要把握以下三点：①方程是整式方程;②只含有一个未知数;③可化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

三、对教学片段的分析

上述关于一元二次方程一般形式的教学片段的设计，显然没有遵循概念形成的一般过程，对一元二次方程一般形式的概念分析得不彻底，忽视了概念的形成过程，导致学生在理解概念的时候，只能停留在表面，也就是对概念形成机械记忆，没有能够理解概念的关键点在什么地方，学生对这个概念的理解是混乱的.

在上述教学设计最开始，教师给出四个一元二次方程，希望学生通过对这几个例子的分析得出一元二次方程所具有的一般属性.教师所列举的四个例子，作为一元二次方程，都有其各自的特殊性，但是正是这一点，容易使学生的理解产生困难，呈现这些例子的目的是使学生归纳出一元二次方程的一般形式，这里出现一次项系数、常数项系数为0或者其他的情况都是不利于学生进行归纳和总结的，这里的“典例”将不再是“典例”.这些特殊性在一元二次方程概念形成的最初阶段，会对学生分析归纳一元二次方程的一般属性造成影响.在概念形成的初期，教师所列出的例子需要是正例，例子蕴含的共同属性要明确，这样才有利于学生归纳概括一元二次方程的一般属性.

通过上述的教学设计，学生不能够很好地完成对一元二次方程属性的检验，也就没有办法真正地明确这个概念中的关键属性是什么，哪些属性又是非关键的.具体体现：为什么b、c可以为0，而a却不可以为0？教师若按照上述教学设计中例子呈现的话，很显然是将概念教学的几个关键步骤杂糅在一起，希望学生通过一个步骤就完成对概念属性的辨认，确认关键属性，形成概念，并完成概念的推广.这显然是不合理的，也不能够达到很好的效果.我们知道，概念教学的最后还需要有一个概念内化的过程，就是将新概念与学生已有的知识结构进行联系和整合，确保所学新概念能够融入学生原有的知识体系中，这样才能够使学生真正理解概念和深化概念.上述过程显然没有能够体现这一点.教师在概念教学的具体操作中，还应该注意以下几个方面：第一，在呈现典型例子的时候最好能够一起呈现，这样可以方便学生观察、对比;第二，概念形成的过程中，学生自主交流讨论能够使他们明确概念的关键属性，对一些无关的因素进行筛选和甄别，有利于学生更加准确、迅速地掌握概念;第三，概念形成后的内化固然重要，但是将新概念与已有的类似概念进行分化和辨别也是非常重要的.

四、修正

1.辨别各种典型事例

教学环节：观察下列方程，他们都有什么共同点？

（1）2x2-3x-3=0

（2）-2x2+x-4=0

（3）-12x2+5x-2=0

（4）2x2+2x-3=0

设计说明：教师呈现最为普通的四个一元二次方程，使学生明确找出其中的共同点.这里呈现的一元二次方程的常数项、一次项系数、二次项系数均不为0.这样的呈现方式是为了方便学生分析辨认典型事例的基本特征.学生通过观察，容易发现一元二次方程的一般形式中，等号左侧包含三项（依次为二次项、一次项、常数项）.这样的观察基础为学生后续找到一元二次方程的典型特征提供了可能.

2.分化出各种典型事例的属性

教学环节：组织学生讨论上述一元二次方程的共同点.

设计说明：这个环节中，教师引导学生发现上述方程具有的共同特征，组织学生进行讨论，鼓励学生尝试用语言表述发现的共同特征，并试着进行概念的表达.

3.抽象出各个典型事例的共同属性，并提出关键属性的种种假设

教学环节：我们知道，一元一次方程的一般形式为ax+b=0（a≠0），你能试着总结一下一元二次方程的一般形式吗？

设计说明：在这个环节中，教师可以先让学生自主地归纳出一元二次方程的一般形式，在前面几个环节的铺垫下，部分学生在这个环节中可顺利完成概念的形成与建构过程.在教学过程中，学生如果遇到一些困难，可以通过类比学习法解决，类比一元一次方程的一般形式ax+b=0（a≠0），再尝试理解一元二次方程的一般形式.值得一提的是，在这个环节中，学生是否能认识到a≠0这个关键属性并不要求，在概念形成的下一个环节，学生在对属性进行辨析确认的时候，再来讨论a≠0这个属性.

4.在特定的情境中检验假设，确认关键属性

在检验过程中，采用变式是一种有效手段.

教学环节：试着思考，下列方程符合一元二次方程的一般形式吗？为什么？

（1）-12x2-2=0

（2）2x2-3x=3

（3）x2=4

（4）-3x-3=0

设计说明：教师通过这样四个式子的讨论，明确二次项系数不能为0，一次项系数、常数项系数可以为0，以及等号右边为0这几个关键属性，为学生总结和理解一元二次方程的一般形式做好准备.这里运用了变式的教学方法，其中（1）（3）可以利用等式的基本性质进行转换变形，（2）和（4）的区别为（4）的二次项系数为0，这暗示了二次项系数为0的情况下，一元二次方程就会变成一元一次方程.

（1）说明了一次项系数可以为0，（2）（4）对照说明了二次项系数不能为0.

5.概括形成概念

教学环节：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能转化成如下形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

这种形式是一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数;bx是一次项，b是一次项系数;c是常数项.

设计说明：通过前面各个阶段的探究，这里形成一元二次方程的概念是自然而然的，学生经历了整个概念的建构过程.

6.把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去

教学环节：下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由，并将一元二次方程化为一般形式.

（1）3x+2=5x-3

（2）x2=4

（3）x-2x+1-1=x2

（4）x2-4=x+22

设计说明：新概念建构完成后，教师需要引导学生将其推广到同类事物中去，用概念中的关键属性来检验同类事物，辨別其是否符合概念，对概念中的关键属性再次进行强化.

7.将所学知识同化到已有知识体系中

教学环节：当m= 时，方程（m-1）x2-（2m-1）x+m=0是关于x的一元一次方程，当m=时，上述方程是关于x的一元二次方程.

设计说明：教师通过这个题目的讨论，使学生认识到a≠0的重要性，同时将所学新知识与原有知识联系起来.在这个环节中，教师还可以进行适当的拓展延伸，告诉学生目前学习了一元一次方程、一元二次方程，后续还会研究更多类型的方程.

五、反思

1.数学概念的学习是建构式的

数学学科的知识是成体系的，数学知识体系是前人经过长时间的探索研究才形成的.因此，学生的数学学习是一个占有传授者所提供的经验，掌握前人所创造的经验，把别人的经验转化为自己的经验，使其内化成为自己的知识经验，成为自己解决实际问题的工具的一个过程.数学概念是数学体系的起点，很多时候，学生对数学概念的学习是接受式的.在经验的传递，概念的形成过程中，教师应设计教学活动，让学生通过教学活动感知经验与概念.也就是说，经验的传递和接受，并不能像物品的传递与接受那样，从一个人的手中直接传递到另一个人的手中.概念的建立也不能像建楼房一样，一砖一瓦模式化地堆砌.教师要给自己的经验和熟知的概念赋予一定的客观形式，即必须借助声音和文字进行编码，使其成为经验和概念的载体，学生在接受编码信息后，经过自己的译码，在自己的知识体系中形成相应的经验与概念，从这个角度来看，数学概念的学习是建构式的.

因此，概念的教学要重视概念的形成过程，教师需要带领学生经历概念形成的每一个环节，重视学生在这个过程中对概念的体会与抽象.这样形成的概念才是学生自主建构起来的.

2.重视概念形成的过程，培养学科素养

学科素养的培养必须落实到日常教学之中.概念形成的过程，正是培养学生学科素养的良好时机.具体说来，数学概念教学往往是教师从大量具体例子出发，引导学生对具体例子进行分析、辨别.学生通过观察、分析、比较，概括出这些事例的外部特征.这一过程，正是数学抽象的过程.形成准确的数学概念，需要学生进一步抽象，从外部特征中提取出概念的核心属性，这对学生数学抽象的素养提出了更高的要求.我们从概念形成的整个过程中可以看到，概念的形成就是在不断抽象中完成的.重视概念形成过程的教学，可以很好地培养学生的数学抽象的核心素养.

另外，从大量的实际例子中抽象得到最后的概念，除了需要学生不断抽象外，还需要学生有一定的数学推理能力.概念形成初期，面对大量实际例子，学生可以通过观察、分析、猜测得到这个概念的一些典型的或者非典型的，甚至错误的属性，学生从这些属性中进一步推理分析，剔除错误的、非关键的属性，最后得到准确的概念.整个过程是在不断猜想、分析、推理中完成的.重视概念形成过程的教学，可以很好地培养学生逻辑推理的核心素养.

3.重视概念形成的过程，提升学生学习数学的品质

数学是建立在概念之上的，教师在教学中需要重视概念的形成过程，这对提升学生数学学习品质有重要意义.现在部分学生认为，数学的学习就是刷题，概念的学习，包括定理、公式的学习都是为刷题做准备，数学学习能力就是解题能力.这种观点是不正确的.重视概念形成过程的教学，可以引导学生关注数学学习的本质，使学生重视数学知识的形成、发展、延伸的过程，加深学生对数学本质的理解，进而提升学生数学学习的品质.

六、结束语

总之，数学的知识体系是建立在概念之上的.数学之所以如此的严谨，就是因为支撑数学大厦的众多概念是严谨、明确的.因此，学生要想具有良好的数学思维，就必须在概念的学习上做足功夫，明确概念的内涵和外延.对教师来说，数学的概念教学是非常重要的.在教学实际中，教师往往由于对学生认知结构不了解，在概念教学中不能够遵循概念的形成和发展的过程，不能够使新概念融入学生原有的知识体系之中.教师在进行概念教学的时候需要遵循概念教学的一般过程，踏踏实实地将概念的内涵和外延传授给学生.

【参考文献】

[1]张生虎，周承巧，张生艳.数学公式学习的心理过程与学习设计：以“公式法求解一元二次方程”为例[J].初中数学教与学，2020（20）：4-6.

[2]董雪，刘君.精讲一元二次方程解法[J].数学学习与研究，2018（14）：119.

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