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摘要：数学概念教学应以学生原有的认知经验为起点，聚焦数学概念的本质属性，让学生亲身经历多层次的数学活动，从而不断加深对概念的理解。《正比例的意义》一课教学，注重从本质出发，指向知识的生长;沿本质思考，指向能力的生长;促本质延伸，指向思维的生长。
关键词：数学概念;知识本质;关键能力;数学思维;《正比例的意义》
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。数学概念的学习，不能仅仅记住它、说出它的定义、认识代表它的符号，而要真正把握它的本质属性。尽管数学概念的定义已经反映出了它的本质属性，但要真正理解它的本质属性并不是一件容易的事情。当前，小学生在学习数学概念时还存在一些问题，主要表现为：对数学对象的本质属性理解不深刻，对同一个数学对象的不同表达形式缺乏系统性概括，不能将所学数学对象与其他相关数学对象建立联系。对此，笔者以为，应以学生原有的认知经验为起点，聚焦数学概念的本质属性，让学生亲身经历多层次的数学活动，从而不断加深对概念的理解。下面，结合《正比例的意义》一课教学，谈谈笔者的实践与思考。
一、教学实践
（一）教材解读与学情分析
“正比例的意义”是苏教版小学数学六年级下册第六单元第1课时的内容，主要是让学生结合实际情境认识成正比例的量。例1（内容见下页图1）的教学意图分为两个层次：首先，通过表格，引导学生感知具体情境中时间和路程变化而行驶的速度不变，初步体会正比例中的变与不变;其次，让学生计算几组相对应的路程和时间的比值，再次明确速度不变实际上就是相对应的路程和时间的比值不变。
认识“正比例的意义”是学生从固定的量到变化的量的一次认知飞跃。学生对相关联的量有自己的理解，对常见的数量关系式（如路程、时间、速度）也有清晰的了解，但一般停留在解决问题的层面。而学习正比例概念要求学生从运动和变化的角度去理解数量之间的关系，通过观察、分析两种数量之间的变化规律，达成对两个变量关系的理解。像这样从静态思考过渡到动态分析乃至抽象概括的过程，对学生来说，无疑是陌生的。所以，本节课学习对于首次接触函数思想的学生而言，难度颇大。
（二）教学过程与说明
1.提炼“两种量之间的关系”。
（教师出示表1-表5，学生根据已知信息填写相关数据。当学生填到表5时，教室里开始出现嘈杂声。）
师你们有什么疑问吗？
生表5填不出来。
师为什么没法填呢？
生一个人的身高和成绩根本就没有关系。虽然我们知道其中一个量，但因为它们之间没有数量关系，所以我们无法算出另一个量是多少。
师有道理！两种量之间如果没有数量关系，我们就无法从一种量的变化判断出另一种量的变化。前四个表格，你们都填好了吗？
（全班核对数据。）
师为什么这四张表中所填的数据可以确定呢？
生因为这几张表中出现的两种量是存在数量关系的。
生在计算的时候，我还发现，每个表格中都隐藏着一个不变量，只要通过隐藏的不变量和其中一个已知的数量就可以算出另一个量是多少。
师发现了隐藏的宝藏，真厉害！那我们就具体来看一看这四张表，每张表中隐藏的不变量是什么？表格中的两种量又有什么样的数量关系呢？先自己思考，再和你的组员交流。
（学生思考后汇报。）
生表1中的不变量是总人数48人，组数乘每组人数就能得到总人数。
（教师课件出示：组数×每组人数=总人数。）
生表2中的不变量是年龄差5岁，哥哥的年龄减妹妹的年龄就能得到年龄差。
（教師课件出示：哥哥的年龄-妹妹的年龄=年龄差。）
生表3中的不变量是客车的速度，路程除以时间就能得到客车的速度。
（教师课件出示：路程÷时间=速度。）
生表4中的不变量是总米数，用去的米数加剩下的米数就能得到总米数。
（教师课件出示：用去的米数+剩下的米数=总米数。）
师通过分析我们发现，两种量可能不存在数量关系，也可能存在数量关系。我们还发现，前四个表格中，不仅两种量存在数量关系，还有一个隐藏的不变量。这个不变量的数值始终是固定的，我们可以说这个量是一定的。
[说明：学习是主客体的相互作用，是学生内在经验的改造和重组。学生之前对两种量的理解一般仅停留在解决问题的层面，而学习正比例概念要求学生从运动和变化的角度去理解数量之间的关系。因此，本环节从学生的已有经验出发，先让学生通过解决具体的问题，发现两种量可能存在数量关系，也可能不存在数量关系，帮助学生将研究两种量的关系从解决问题的层面逐步过渡到研究关系本身的层面。]
2.揭示“相关联”。
师（课件出示填好的四张表格和相应的关系式）我们再来观察这四张表格，看看每张表格中的两种量分别是怎样变化的？先想一想，再和你的同桌交流。
（学生观察后汇报。）
生我发现，每张表格中的两种量都在不停地变化。
生我发现，表1和表4中都是一种量在增加，另一种量在减少;表2和表3中的两种量都是在同增同减。
师这四张表格中，两种量的变化情况可能是同增同减，也可能是一种量在增加，另一种量在减少。它们变化的方向是不一样的，那它们有什么相同的地方吗？
生每张表中的两种量都是存在数量关系的，而且都是变化的。
师像这样存在数量关系的两种量，一种量的变化会影响到另一种量，使其也发生变化。我们就可以把这两种量称为“相关联的量”。（出示表6—表10）观察这五张表格，每张表中的两种量是不是相关联的量？
生长×宽=面积。面积一定，长的变化会带来宽的变化，所以长和宽是两种相关联的量。
师你是怎么知道面积是一定的？
生我用表格中的数据算的。我发现，24×1，12×2，10×2.4，8×3，6×4都等于24。
生我是从表6标题中的信息“面积是24平方厘米的长方形”知道的。
师看来找不变的量，可以通过计算，也可以通过分析条件。
生年龄和身高不存在数量关系。一般人到了一定的年龄后身高就不会变化了，所以年龄和身高不是两种相关联的量。
生总价÷数量=单价。单价一定，买的数量越多，总价就会越高，所以总价和数量是两种相关联的量。
师这里的单价一定，你们又是怎么知道的？
生我们可以用表中的数据计算得知，也可以从条件“一种彩带”得知：既然是同一种彩带，那它的单价肯定是不变的。
生圆的周长÷圆周率=直径。圆的周长在变化，但圆周率一直都没有变化，它们不是两种量都在变化，所以圆的周长和圆周率不是两种相关联的量。
生质量÷数量=每袋的质量。数量在变化，质量也随着它在变化，两种量都在变化，所以质量和数量是两种相关联的量。
[说明：这里，引导学生变换观察角度，从研究两种量的数量关系转变为探寻两种量的变化规律，由发现“不同”到寻找“相同”。在学生对每张表中两种数量的变化规律进行了充分观察和表达后，教师归纳小结，揭示出“两种相关联的量”的本质意义。后续出示的五张表格，是让学生在具体情境中，从多个角度进一步理解“相关联的量”，理解两种量在“存在数量关系”的前提下，还必须都是“变化的量”。]
3.总结“正比例的意义”。
师（课件出示表6、表8、表10及相应的关系式）如果让你对这三张表进行分类，你打算怎么分？说说你的想法。
生我打算分两类：表6为一类，表8和表10为一类。因为表6中的两种量是乘的关系，积一定;而表8和表10中的两种量是除的关系，商或比值一定。
生我也是这样分类的。我发现，表6中两种量的变化是一增一减，而表8和表10中两种量的变化是同增同减。
师你们都同意把表8和表10分为一类吗？为什么？
生因为每张表中的两种量都是同增同减。
生因为每张表中上下两个对应数据的比值都是相等的。
生因为每张表中的两种量都是除的关系，而且商一定。
师像这样的两种相关联的量，它们的商或比值总是一定的，我们就说这两种量成正比例关系，（板书：成正比例关系）这两种量也是成正比例的量。（出示图2）先来看一道题：往同一个圆柱形杯子中倒水，水的体积和高度成正比例吗？
生水的体积和高度是两个相关联的量。因为是“同一个杯子”，所以底面积是一定的，底面积=体积÷高，所以水的体积和高成正比例关系。
师你真善于思考！通过“同一个圆柱形杯子”这个条件就快速找到了不变量——底面积。
生我直接看图，因为图上是一条直线，所以这两种量的比值一定是不变的。
师他说如果图上是一条直线，两种量的比值就是不变的，到底对不对呢？我们可以怎么办？
生用计算的方法来验证。
（学生验证后发现，水的体积与高度的比值都是25。）
师这也就说明刚才那位同学的推断是正确的，而且我们又获得了一种方法——通过图像直接判断。再来看第二道题——
（教师出示题目：正方形的周长和边长成正比例吗？）
生成正比例关系。
师都没有具体的数据，你是怎么知道它们的比值是一定的？
生我是根据周长计算公式推导发现的。边长×4=周长，反过来，周长÷边长=4，比值是一定的，所以周长和边长成正比例。
（教师出示题目：正方形的面积和边长成正比例吗？）
生根据正方形的面积计算公式“面积=边长×边长”，可以得到“面积÷边长=边长”，比值不一定，所以面积和边长不成正比例关系。
[说明：学习的核心要素就是思维的参与，真正的数学学习应该让学生充分体验和感受数学概念的形成过程。本环节中的分类过程引导学生细致研读表格，着眼于变与不变、同与不同，在不同层次、不同角度的比较中，深刻体会正比例概念的本质意义。本环节中的练习与之前的表格呈现方式不同，既有图像呈现，又有文字呈现。这样设计的目的是通过多种表征方式，让学生对正比例的意义产生深刻的体验和认识;同时，图像的呈现也为下一课时的学习做铺垫。]
4.建模深化理解。
师生活中还有哪些成正比例的量？你能举例说一说吗？
生长不变时，长方形的面积和宽成正比例关系。
……
师像这样的正比例关系说得完吗？
生说不完。
师你能用简单的方法表示出來吗？
生被除数÷除数=商（一定），被除数和除数成正比例关系。
生a÷b=c（一定）（a、b、c不等于0），a和b成正比例关系。
生☆÷△=□（一定）（☆、△、□不等于0），☆和△成正比例关系。
师虽然同学们的表示方法不同，但它们都有什么相同的地方？
生两种量是相关联的量，要具备相除关系，并且商或比值必须是一定的。
师在数学上，我们一般用字母表示，通常用字母x和y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，那么正比例关系可以用怎样的式子来表示呢？请你试着写一写。
（学生尝试写表达式。）
师同学们的方法都很正确，真棒！相除关系也可以写成分数形式，所以通常我们写成这样的形式。
教师板书：yx=k（一定）。
[说明：在具体的活动中经历了由浅入深、由表及里的研究过程后，学生已经对正比例的意义积累了大量的感性认识和经验。本环节，学生用符号等方式抽象出正比例的意义也就水到渠成了。学生对正比例意义的表征方式是多样的，不管是文字的、字母的，还是符号的，都是从他们心里自然生长出来的。通过这样的学习过程，学生实现了正比例意义数学模型的自主建构。]
二、教学思考
教学数学概念，不能停留在知识的记忆和技能的训练上，而应聚焦数学概念的本质属性，指向知识、学生能力和思维的生长。
（一）从本质出发，指向知识的生长
奥苏伯尔说过：“影响学习的唯一重要的因素，就是学习者已经知道了什么。”教学时，我们需要研究学生已经具备的知识、经验与将要学习的新内容之间存在着哪些联系，以及如何帮助学生沟通旧知与新知的联系。
对学生来说，“正比例的意义”这一学习内容，从表面上看，是全新的知识，但聚焦到知识的本质上，自然会发现，正比例的意义研究的其实就是两种变量之间的关系，它需要数量关系式作为支撑。而对研究两种量之间的数量关系，学生是有基础的——只是原来研究的是静止状态的两种量之间的关系，现在要研究的是动态的两种量之间的关系。因此，笔者找准这一知识的生长点，根据学生的已有经验，建立前后知识的联系，展开立足学生“最近发展区”的教学。
（二）沿本质思考，指向能力的生长
抽象、推理、模型是数学的基本思想，是数学学科的关键能力。在教学中，教师除了需要关注学生知识的掌握程度外，更要重视教会学生怎样找到知识的本质，怎样发现知识与知识之间的联系，“知其因，明其法”。
《正比例的意义》一课教学中，笔者通过丰富的学习素材，让学生在各类不同层次的情境中，亲身经历观察分析、分类比较、抽象概括、建立模型等数学活动。学生在把感性经验上升为理性经验的过程中，初步感悟到数学抽象的过程与方法，发展了数学思考，体验了符号化的思想，提升了数学抽象和建模的能力;在由具象到抽象的过程中，深度理解了正比例的意义，实现了用图表、文字、符号表征概念的综合化学习。
（三）促本质延伸，指向思维的生长
郑毓信教授提出：“我们应将数学知识和技能的教学看成思维教学最重要的途径，我们还应努力做好思维分析在知识和技能教学中的渗透、指导和促进。我们在教学中不应该过分强调各种具体的数学解题策略和数学思维方法，而应更加重视一般思维策略和思想方法。”类比就是一种重要的数学思维。
《正比例的意义》一课教学中，笔者多次引导学生对比：首先，通过丰富的素材让学生发现两种量可能存在的两种不同情况;然后，继续通过不同的素材让学生认识到两种相关联的量之间也存在着不同的关系，正比例关系只是其中的一种情况。这样的学习，不仅培养了学生的全局观念，也帮助学生对两种量的关系建立了結构性的认识。
此外，教师还要培养学生反思和再认识的意识和能力，在教学中，努力创造一些新的、适合学生长线思考的教学形式，帮助学生通过数学的学习获得数学思维的生长。
参考文献：
[1] 郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020.
[2] 郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.
[3] 王凌.丰富学习素材，促进深层参与——“教学失误及其改进”系列研究之九[J].教育研究与评论（课堂观察），2018（5）.
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